## 题目
已知x，y，z为实数，且y+z＝5﹣4x+3×2，z﹣y＝1﹣2x+x2，则x，y，z之间的大小关系是
## 解答
### 解题过程
#### 已知条件
给定实数 \( x, y, z \) 满足以下方程组：
$$
\begin{cases}
y + z = 5 – 4x + 3x^2 \quad (1) \\
z – y = 1 – 2x + x^2 \quad (2)
\end{cases}
$$
#### 目标
求 \( x, y, z \) 之间的大小关系。
—
### 第一步：解方程组求 \( y \) 和 \( z \)
将方程 (1) 和方程 (2) 相加：
$$
(y + z) + (z – y) = (5 – 4x + 3x^2) + (1 – 2x + x^2)
$$
$$
2z = 6 – 6x + 4x^2
$$
$$
z = 3 – 3x + 2x^2
$$
将方程 (1) 减去方程 (2)：
$$
(y + z) – (z – y) = (5 – 4x + 3x^2) – (1 – 2x + x^2)
$$
$$
2y = 4 – 2x + 2x^2
$$
$$
y = 2 – x + x^2
$$
因此，我们得到：
$$
y = x^2 – x + 2
$$
$$
z = 2x^2 – 3x + 3
$$
—
### 第二步：比较 \( x, y, z \) 的大小
1. **比较 \( y \) 和 \( x \)**
$$
y – x = (x^2 – x + 2) – x = x^2 – 2x + 2
$$
判断 \( x^2 – 2x + 2 \) 的符号：
– 判别式 \( \Delta = (-2)^2 – 4 \times 1 \times 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \)
- 二次项系数为正，且 \( \Delta < 0 \)，故 \( x^2 - 2x + 2 > 0 \) 对所有实数 \( x \) 成立。
– 因此，\( y > x \)。
2. **比较 \( z \) 和 \( x \)**
$$
z – x = (2x^2 – 3x + 3) – x = 2x^2 – 4x + 3
$$
判断 \( 2x^2 – 4x + 3 \) 的符号：
– 判别式 \( \Delta = (-4)^2 – 4 \times 2 \times 3 = 16 – 24 = -8 < 0 \)
- 二次项系数为正，且 \( \Delta < 0 \)，故 \( 2x^2 - 4x + 3 > 0 \) 对所有实数 \( x \) 成立。
– 因此，\( z > x \)。
3. **比较 \( z \) 和 \( y \)**
$$
z – y = (2x^2 – 3x + 3) – (x^2 – x + 2) = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 \geq 0
$$
– 对于所有实数 \( x \)，\( (x – 1)^2 \geq 0 \)，当且仅当 \( x = 1 \) 时取等号。
– 因此：
– 当 \( x \neq 1 \) 时，\( z > y \)；
– 当 \( x = 1 \) 时，\( z = y \)。
—
### 第三步：总结大小关系
综合以上分析：
– 对于所有实数 \( x \)，有 \( y > x \) 和 \( z > x \)。
– 对于 \( z \) 和 \( y \)：
– 当 \( x \neq 1 \) 时，\( z > y > x \)；
– 当 \( x = 1 \) 时，\( z = y > x \)。
因此，一般可以表示为：
$$
z \geq y > x
$$
—
### 验证示例
1. **当 \( x = 0 \)**
$$
y = 0^2 – 0 + 2 = 2, \quad z = 2 \times 0^2 – 3 \times 0 + 3 = 3
$$
$$
3 > 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad z > y > x
$$
2. **当 \( x = 1 \)**
$$
y = 1^2 – 1 + 2 = 2, \quad z = 2 \times 1^2 – 3 \times 1 + 3 = 2
$$
$$
2 = 2 > 1 \quad \Rightarrow \quad z = y > x
$$
3. **当 \( x = 2 \)**
$$
y = 2^2 – 2 + 2 = 4, \quad z = 2 \times 2^2 – 3 \times 2 + 3 = 5
$$
$$
5 > 4 > 2 \quad \Rightarrow \quad z > y > x
$$
验证结果与结论一致。
—
### 最终结论
对于所有实数 \( x \)，\( y \)，\( z \) 满足给定方程时，它们的大小关系为：
$$
z \geq y > x
$$
即：
– \( y \) 总是大于 \( x \)；
– \( z \) 大于或等于 \( y \)（当且仅当 \( x = 1 \) 时，\( z = y \)）。